miércoles, 15 de mayo de 2013

15 de Mayo

En esta semana hemos dado:


Medidas de ángulos entre rectas y planos.

Para el estudio de ángulo entre rectas, entre planos y entre rectas y planos, necesitamos disponer para cada figura de un vector que caracterice su dirección. En la recta. esa papel lo cumple, obviamente, su vector de dirección; en el plano, su vector normal.

  -Ángulo entre dos rectas.
  -Ángulo entre dos planos.
  -Ángulo entre una recta y un plano.

Distancias entre punto, rectas y planos.

   -Distancias entre dos puntos.
  -Distancia entre un punto y una recta.
        -Método constructivo.
        -Método del punto genérico.
        -Método del producto vectorial: Cálculo directo de la distancia.
   -Distancia de un punto a un punto.
   -Distancia de una recta a un plano.
   -Distancia entre dos planos.
   -Distancia entre dos planos.
   -Distancias entre dos rectas. 
         -Método del plano paralelo.
           -Método del vector variable
           -Método del producto mixto.

Medidas de áreas y de volúmenes.

   -Área de un triángulo del que se conocen los vértices.
  -Volumen de un tetraedro del que se conocen los vértices.

Lugares geométricos en el espacio.

   -Plano mediador.
   -Plano bisector.
   -Esfera.
   -Elipsoides, hiperboloides, paraboloides.

Fin de temario.

Con esto concluimos el curso. Espero que os haya gustado.
         



miércoles, 8 de mayo de 2013

8 de Mayo

Hemos comenzado un nuevo tema, llamado problemas métricos.
En la unidad anterior además de distintas ecuaciones de rectas y planos,hemos visto problemas de paralelismo, intersección e incidencia (¿está un punto en una recta?, ¿está tal recta contenida en un cierto plano?). Todas ellas ---paralelismo, corte e incidencia ---son propiedades afines. Las relaciones en que intervienen medidas (áreas, ángulos, distancias, volúmenes) son propiedades métricas.

En el desarrollo de la geometría métrica, además de las aportaciones de Monge y sus discípulos ( ver la introducción a la unidad anterior), son logros destacables la obtención de la fórmula para hallar la distancia de un punto a un plano (Lagrange) y del volumen de un paralelepípedo (Cauchy).

El español Pedro Puig Adam (1900-1960), gran matemático y extraordinario didacta, fue autor de Geometría Métrica que es un clásico de esta materia.

En el que vemos:

Direcciones entre rectas y planos.

Los problemas afines tratan de incidencias (ver sin punto está contenido en una recta o e un plano y ver si una recta esta contenida en un plano),paralelismos e intersecciones. La perpendicularidad es un problema métrico. Cuando en la unidad anterior utilizamos el vector normal a un plano, o los productos escalares y vectoriales para hallar vectores perpendiculares a otros, estábamos utilizando procedimientos métricos para resolver problemas afines. Vamos a comenzar esta unidad revisando estos procedimientos.

   -Dirección de una recta dada en paramétricas.
   -Dirección de un plano dada de forma implícita.
   -Plano paralelo a dos rectas.
   -Rectas definidas por dos planos.


-->Una figura incide en otra cuando esta contenida en ella. (Ten en cuenta que este significado de "incidir" solo se utiliza en geometría).
-->Un figura coincide (co-incide) con otra cuando cada una de ellas incide en la otra.


      
     

miércoles, 24 de abril de 2013

24 de Abril.

EL día 7 de Mayo se realizará el examen de recuperación de matrices.

En esta semana hemos dados posiciones relativas de dos rectas, puede darse unos de estos casos:

-Coincide misma dirección un punto común.
-Son paralelas misma dirección, ningún punto en común.
-Se cortan distinta dirección, un punto común.
-Se cruzan distinta dirección, ningún punto común.

Hemos de aprender a identificar en cual de los cuatro casos estamos partiendo de las expresiones analítica de la recta, es decir, conociendo sus vectores, posiciones, dirección.

Estudio de las posiciones relativas de rectas mediante rango.

-Las rectas coinciden: ran(M)=ran(M')=1
-Las rectas son paralelas: ran(M)=1, ran(M')=2
-Las rectas se cortan: ran(M)=ran(M')=2
-Las rectas se cruzan: ran(M)=2, ran(M')=3

Posiciones relativas de planos y rectas.

El estudio de las posiciones relativas de planos entre sí y de planos y rectas se reducen en todos sus casos, a la resolución de sistemas de ecuaciones. Si embargo, es conveniente prestar atención especial a algunos de ellos.

Dos planos.

Dos planos pueden cortarse, ser paralelos o  coincidir. El sistema formado por sus ecuaciones,,

        |ax + by + cz + d = 0
        |a'x + b'y + c'z + d' = 0

El estudio de sus rango nos da información sobre sus soluciones (es decir, sobre los puntos comunes a ambos planos) y, por tanto, sobre su posición relativa.



 

miércoles, 17 de abril de 2013

17 de Abril.

Hemos empezado nuevo tema llamado "Puntos, rectas y planos en el espacio", que en el examen irá unido al anterior.

 Simétrico de un punto respecto de otro.

 Si A' es el simétrico de A respecto de M, entonces M es el punto medio del segmento AA'. Por ello se verificará la igualdad.

igualdad 

Ejemplo: Calcula el simétrico de A(1,2,3) respecto de M(1,0,-1)
Llamamos B(x,y,z) al simétrico buscado. M será el punto medio del segmento \overline{AB}
- \frac{1+x}{2}=1 \rightarrow x=1
- \frac{2+y}{2}=0 \rightarrow y=-2
- \frac{3+z}{2}=-1 \rightarrow z=-5
Por tanto, el simétrico es B(1,-2,-5)

Los ejercicios que hemos realizado en clase son el 1, 2 y 3 pág 156.

Ecuaciones de la recta.  

Ecuación vectorial de la recta


ecuación vectorial de la recta
Definimos una recta r como el conjunto de los puntos del espacio, alineados con un punto P y con una dirección dada vector u .
Si P(x1, y1) es un punto de la recta r, el vector vector director tiene igual dirección que vector u, luego es igual a vector u multiplicado por un escalar:
operación
igualdad
ecuación vectorial de la recta en el espacio

Ecuaciones paramétricas de la recta

Si operamos en la ecuación vectorial de la recta llegamos a la igualdad:
igualdad
Para que se verifique esta igualdad, se deben cumplir:
Ecuaciones para métricas de la recta

Ecuaciones continuas de la recta

Despejando e igualando λ en las ecuaciones paramétricas se tiene:
ecuación continua de la recta

Ecuaciones implícitas de la recta

Una recta puede venir determinada por la intersección de los planos.
ecuaciones implícitas de la recta
Si en las ecuaciones continuas de la recta quitamos denominadores y pasamos todo al primer miembro, obtenemos también las ecuaciones implícitas.

Ejercicios

1.Hallar las ecuaciones paramétricas, en forma continua e implícitas de la recta que pasa por el punto A = (1, 2, 1) y cuyo vector director es vector.

Ecuaciones paramétricas

ecuaciones paramétricas

Ecuaciones en forma continua

operaciones
ecuaciones de la recta en forma continua

Ecuaciones implícitas

operaciones
ecuaciones en la recta en forma implícita
 

miércoles, 10 de abril de 2013

10 de Abril.

El examen de recuperación de la 2ª evaluación se ha aplazado para el martes 16.

Hemos comenzado con un nuevo tema llamado vectores en el espacio, en el que hemos dado:

Operaciones con vectores.

Vector  vector. Origen A extremo B.

Módulo de vector es la distancia de A a B. Se designa así: módulo
Dirección de vector es la recta sobre la que están A y B y la de todas las rectas paralelas a ellas.

Cada dirección admite dos sentidos opuestos de A a B y de B a A.

Dos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Expresión analítica de un vector.


-Dependencia e independencia lineal.

Varios vectores se llaman linealmente dependientes si algunos de ellos se pueden poner como combinación lineal de los demás. Cuando no es así, se llama linealmente independiente.

Por ejemplo.

-Dos vectores alineados son linealmente dependientes.
-Dos vectores no alineados son linealmente independiente.
-Tres vectores coplanarios (están en el mismo plano) son linealmente dependientes, pero tres vectores no coplanarios son independientes.

-Base.

Tres vectores no coplanarios cualesquiera forman una base del espacio vectorial tridimensional.
Si los tres vectores son perpendiculares entre sí, se dice que forman una base ortogonal. Si además tienen la misma longitud (que se toma como unidad), se dice que la base es ortonormal.

miércoles, 3 de abril de 2013

3 Abril del 2013.

El examen de recuperación de la segunda evaluación se realizará el día 9 de Abril.

El viernes 22 de Marzo realizamos el examen de Gauss, matrices y determinantes.

En esta semana hemos estado viendo el Teorema de Rouché y Regla de Cramer.

Teorema de Rouché.

Para saber si un sistema de ecuaciones tiene o no solución, habrá que ver si los términos independientes se pueden obtener a partir de los coeficientes de las incógnitas. Esto se realiza comparando la matriz de los coeficientes con la matriz que se obtiene añadiendo a esta la columna de los términos independiente, llamada Matriz ampliada. Es lo que hace el siguiente teorema.

La condición necesaria y suficiente para que tenga solución el sistema es que el rango de la matriz de los coeficiente, A, coincida con el rango de la matriz ampliada, A'.
Es decir: El sistema (*)tiene solución <--> rango(A)=rango(A').

Relación entre ramgo(A) y rango (A') en un sistema incompatible
Si el sistema es incompatible, el ran(A) es distinto a ran(A'). Puesto que A' tiene una columna mas que A, su rango solo puede ser una unidad mayor. Por tanto, si el sistema es incompatible, ran(A')=ran(A)+1.

Regla de Cramer

La regla de Cramer es un teorema con una inmediata utilidad práctica. sirve para obtener la solución de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Vamos a anunciarlo y demostrarlo para n=4. Su generalización para un n cualquiera es inmediata.

El examen de Gauss, matrices, determinantes con Rouché y Cramer se realizará el viernes 12 de Abril.

miércoles, 13 de marzo de 2013

13 de Marzo.

En esta semana hemos dado un nuevo tema llamado determinantes. En el que hemos dado determinantes de orden 2, determinantes de orden 3, determinantes de orden cualquiera, menor complementario y adjunto, desarrollo de un determinante por los elementos de una línea, método para calcular determinantes de orden cualquiera y el rango de una matriz a partir de sus menores.

En el cual hemos realizado relaciones de ejercicios.

El examen se realizará el día viernes 22 de Marzo.